Se vuoi comprendere la regola dei segni e non fare più confusione questo è l’articolo giusto. Troverai esempi e strategie per capire come e quando applicarla
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Quante volte ti chiedi mentre fai una sottrazione o una moltiplicazione come devi comportarti con i segni?
Magari proprio in un compito ti assale il panico e speri di aver indovinato il segno, senza aver fatto pasticci.
Ma se ogni volta speri di non confonderti e di aver indovinato la regola giusta vuol dire che non hai compreso o non hai fatto tue queste regole.
Mi occupo di recupero di matematica da quando ero all’università e applicare una regola senza doverci pensare ti assicuro che fa la differenza.
Consiglio (non opzionale)
Non opzionale vuol dire seguilo:-)!
Spegni le notifiche del cellulare e presta la tua massima attenzione a quello che leggi. Imponiti di controllare cosa è successo, nel frattempo nei tuoi social, solo a fine lettura. Vedrai che ti sentirai fiero o fiera di te!
Prima di iniziare…
La regola dei segni si applica quando dobbiamo fare delle operazioni con i numeri interi relativi (che si indicano con la lettera Z)
I numeri relativi sono composti:
- dal segno
- dal valore assoluto, che è il numero senza il segno.
Se scriviamo:
-3
“–” è il segno
“3” è il valore assoluto.
Ricorda, inoltre, che il segno positivo si può omettere se il numero si trova all’inizio dell’espressione.
Quindi quando trovi un numero senza segno, quel numero è positivo.
Adesso che abbiamo chiarito alcuni termini fondamentali possiamo entrare nel vivo della spiegazione.
Regola dei segni nelle somme algebriche
Quando parliamo di somma algebrica ci riferiamo sia all’addizione che alla sottrazione.
Consideriamo il seguente esempio:
+12 – 3
(ricorda che puoi omettere il segno + davanti al 12, ma per il momento perché il concetto ti sia quanto più chiaro possibile preferisco non ometterlo)
Qual è il risultato?
Rifletti un attimo.
Abbiamo due numeri: uno positivo e uno negativo. Tra i due, uno ha valore assoluto più grande (+12) e uno ha valore assoluto più piccolo (-3).
Il segno positivo lo puoi vedere come qualcosa che possiedi o che ti regalano. Ad esempio hai 12 caramelle.
Il segno negativo indica, invece, qualcosa a cui devi rinunciare o che ti tolgono o che regali. In questo caso, è come se avessi 12 caramelle e te ne tolgono 3.
Quindi adesso possiedi 9 caramelle: + 9.
Cosa succede se invece abbiamo una somma algebrica di questo tipo:
-8+2
Immagina di trovarti a 8 gradi sottozero (infatti se tracciamo una retta orientata, i numeri negativi sono quelli che vengono prima dello zero).
Se riscaldi la stanza di 2 gradi (+2), la temperatura resterà sempre sotto lo zero. Arriverà a -6 gradi.
Infatti, per raggiungere lo zero devi aumentare la temperatura di almeno +8 gradi.
Se volessimo una temperatura positiva dovremmo aumentarla ancora di più.
Da questo deduciamo la prima regola:
In una somma algebrica se due numeri hanno segno diverso otteniamo un numero che ha come valore assoluto la differenza tra i due numeri e come segno quello del numero con valore assoluto maggiore.
E se i due numeri hanno lo stesso segno?
Analizziamo il caso in cui siano entrambi positivi:
+15+3
In questo caso possiamo dire che se hai 15 caramelle e te ne regalano 3 avrai 18 caramelle.
Cosa succede se, invece, come nella seguente somma algebrica:
–8-4
Ritorniamo all’esempio della stanza in cui la temperatura è pari a 8 gradi sottozero (-8). In questo caso è come se la temperatura scendesse di altri 4 gradi (-4).
Quindi ci ritroviamo a 12 gradi sottozero.
Possiamo adesso scrivere la seconda regola:
In una somma algebrica se due numeri hanno lo stesso segno otteniamo un numero che ha come valore assoluto la somma tra i due valori assoluti e come segno quello comune a entrambi.
Adesso vediamo cosa succede se abbiamo più addendi.
In questo caso ti conviene sommare prima tra loro i numeri positivi e poi quelli negativi.
Facciamo un esempio:
+5-7+15-20+3 = 5+15+3-7-20 = 23-27 = -4
Ci siamo così ricondotti, nel penultimo passaggio, ad uno dei casi precedenti.
La regola dei segni nelle moltiplicazioni e nelle divisioni
Partiamo dal caso in cui i due numeri hanno segno discorde.
Per quanto riguarda i segni quello che diremo per la moltiplicazione vale per la divisione.
Supponi di andare a prendere una pizza. Passi una bella serata con un tuo amico e una tua amica. Ma al momento di pagare la tua quota, pari a 20 euro, ti accorgi che hai dimenticato il portafoglio. Allora i tuoi amici ti prestano 10 euro ciascuno. Hai quindi un debito di 10 euro con il tuo amico di 10 euro con la tua amica.
Ha un debito complessivo di 2 volte 10 euro e poiché i debiti si indicano con il segno meno avrai:
+2(-10) = – 20
Per procedere senza errori moltiplica prima i segni tra loro e una volta che avrai scritto il segno ottenuto moltiplica i fattori.
Questo ci porta a scrivere la nostra regola:
Se moltiplichiamo tra loro due numeri che hanno segno diverso otteniamo un numero negativo, che ha come valore assoluto il prodotto dei due valori assoluti.
E se i segni sono concordi?
Analizziamo prima il caso in cui sono entrambi positivi.
Se tua nonna ti regala 20 euro (+20 euro) e tuo nonno altri 20 euro (+20 euro) avrai:
+2 (+20) = + 40
Il caso, invece, in cui i numeri sono entrambi negativi è un po’ meno intuitivo.
Un antico proverbio recita:
“il nemico del mio nemico è mio amico”
Lo so, ti chiedi cosa c’entra adesso questo proverbio :-D.
Riflettici un attimo. Avere un nemico è sicuramente una cosa negativa, mentre avere un amico è una cosa positiva.
Indichiamo allora il nemico con il segno “-“ e l’amico con il segno “+”.
Se traduci il proverbio che ti ho scritto in segni otterrai:
Il nemico del mio nemico è mio amico = (-)∙(-)=+
Puoi scrivere la seconda regola relativa al prodotto di numeri relativi:
Se moltiplichiamo tra loro due numeri che hanno lo stesso segno otteniamo un numero positivo, che ha come valore assoluto il prodotto dei due valori assoluti.
In definitiva:
Il prodotto tra due fattori concordi è un numero positivo, il prodotto tra due fattori discordi è un numero negativo.
Ricorda che due numeri sono concordi se hanno lo stesso segno, mentre sono discordi se hanno segno diverso.
E se hai il prodotto di più fattori?
Facciamo un paio di esempi e poi scriviamo una regola che potrai applicare facilmente.
Consideriamo una moltiplicazione tra tre fattori di cui due negativi e uno positivo:
(-3)∙(+2)∙(-4) = +24
Hai capito perché il prodotto di questi numeri è positivo?
Per ottenere il risultato devi fare prima il prodotto tra i segni e poi il prodotto tra i valori assoluti.
PRODOTTO TRA I SEGNI
Procedi moltiplicando i primi due segni tra loro e poi moltiplica il risultato ottenuto per l’ultimo segno.
(-)∙(+)∙(-) = (-)∙(-)=+
PRODOTTO TRA I NUMERI
Anche in questo caso moltiplichi innanzitutto i primi due numeri tra loro e poi il risultato lo moltiplichi per il terzo numero:
(3)∙(2)∙( 4) = (6) ∙(4)=24
Quindi:
(-3)∙(+2)∙(-4) = +24
Facciamo il secondo esempio, dove compaiono tre segni negativi e uno positivo:
(-2)∙(+2)∙(-4) ∙(-3) = -48
Procediamo come nel caso precedente.
PRODOTTO TRA I SEGNI
In questo caso conviene moltiplicare i primi due segni tra loro e gli ultimi due tra loro. Infine moltiplichiamo i segni ottenuti
(-)∙(+)∙(-)∙(-) = (-)∙(+)=-
PRODOTTO TRA I NUMERI
Anche in questo caso moltiplichi innanzitutto i primi due numeri tra loro e poi il risultato lo moltiplichi per il terzo numero e così via:
(2)∙(2)∙( 4) ∙( 3) = (4) ∙(4) ∙( 3)= (16) ∙(3)=48
Quindi:
(-3)∙(+2)∙(-4) = +24
Infine:
(-2)∙(+2)∙(-4) ∙(-3) = -48
Che regola possiamo dedurre?
Data una moltiplicazione tra più fattori:
- se il numero dei segni è pari allora il risultato è positivo;
- se il numero dei segni è dispari allora il risultato è negativo.
Te l’ho già scritto ma lo riscrivo.
In una moltiplicazione tra due o più fattori si moltiplicano tra loro prima i segni e poi i valori assoluti.
La regola dei segni con le potenze
Questa regola si può dedurre dalle regole delle moltiplicazioni tra numeri interi relativi.
Una potenza è, infatti, il prodotto di un numero per sé stesso tante volte quante indica l’esponente della potenza.
Prima di procedere ricorda che in una potenza del tipo:
an
a è la base e n è l’esponente.
Quindi se scriviamo:
(+2)3
+ 2 è la base e 3 e l’esponente.
Per la definizione di potenza è come se scrivessi:
(+2)∙(+2)∙(+2) = + 8
Abbiamo applicato la regola dei segni per le moltiplicazioni. Lo stesso faremo negli esempi seguenti:
(-3)3=(-3)∙(-3)∙(-3) = – 27
(-3)2=(-3)∙(-3) = -9
(+5)3=(+5)∙(+5)∙(+5) = +125
Hai capito come sono stati svolti?
Fai i calcoli applicando le regole viste nel paragrafo precedente e se c’è qualcosa che non comprendi vuol dire che devi esercitarti ancora con le moltiplicazioni tra più fattori.
Se invece è tutto chiaro possiamo procedere a scrivere la regola:
Se elevo un numero a potenza il risultato avrà:
- segno sempre positivo se l’esponente è pari;
- il segno del base se l’esponente è dispari.
In altre parole, otterrai un numero negativo solo se la base è negativa e l’esponente è dispari.
OCCHIO ALL’ERRORE
Scrivi sempre la base tra parentesi compreso il segno, se è elevato a potenza.
Cosa voglio dire?
Scrivere:
(-2)2
Non è lo stesso che scrivere:
-22
Infatti, nel primo caso sto elevando a potenza anche il segno meno, nel secondo caso no.
I risultati sono diversi:
(-2)2 = + 4
mentre:
-22= – 4
Sai quando vedo quest’errore?
Nel calcolo del Delta dell’equazione di secondo grado quando la b è negativa.
Consideriamo l’equazione:
Calcoliamo il Δ.
PASSAGGIO ERRATO
Il passaggio non è corretto perché elevare al quadrato la b (-2) con tutto il segno. Quindi il segno davanti a 4 deve essere positivo.
PASSAGGIO CORRETTO
Dobbiamo elevare al quadrato anche il segno che quindi sarà positivo.
Risolviamo l’equazione con la formula risolutiva:
Le soluzioni sono:
Ricapitoliamo
Quando fai esercizi con i numeri relativi devi fare attenzione al tipo di operazione che stai svolgendo.
Dai una lettura attenta all’articolo. Appena hai capito una regola e perché viene applicata scrivila in un quaderno con un esercizio svolto accanto.
Non passare alla regola successiva se non hai capito la precedente.
E soprattutto…fai tanti esercizi :)!
